Πλένουμε  το ψάρι και το αλατοπιπερώνουμε. Σε μια κατσαρόλα βάζουμε τα κρεμμύδια με λίγο νερό, τα μαραίνουμε και προσθέτουμε το ελαιόλαδο.

Τα αφήνουμε να ροδίσουν ελαφρά και ρίχνουμε την ντομάτα με το σέλερι. Σιγοβράζουμε για 5 λεπτά και κατόπιν προσθέτουμε το ψάρι με 1/2 φλιτζάνι του τσαγιού νερό.  Σκεπάζουμε την κατσαρόλα και σιγοβράζουμε για 10 λεπτά ακόμη.

Προσθέτουμε τον άνηθο, το μαϊντανό, 2 φλιτζάνια του τσαγιού νερό, αλάτι και πιπέρι και συνεχίζουμε το βράσιμο για 20 λεπτά ακόμα.

Στη συνέχεια κάνουμε το αυγολέμονο χτυπώντας σε μπολ τα αυγά και όταν αφρίσουν ρίχνουμε εναλλάξ το χυμό του λεμονιού και κουταλιές από τη ζεστή σάλτσα του φαγητού, αλάτι και πιπέρι.

Αποσύρουμε το φαγητό από τη φωτιά και ρίχνουμε στην κατσαρόλα το αυγολέμονο, κουνώντας τη για να πάει παντού.

Αφήνουμε για ακόμα 10 λεπτά να ζεσταθεί και σερβίρουμε αμέσως.

Σημείωση:

Χτυπάμε πρώτα τα ασπράδια και αφού πήξουν, προσθέτουμε έναν έναν τους κρόκους και ανακατεύουμε συνεχώς για να μην κόψει το αυγολέμονο.